FPB dan KPK

         Faktor merupakan angka-angka yang dapat membagi suatu bilangan. Sedangkan FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar, yaitu faktor-faktor atau angka-angka  pembagi yang paling besar dari suatu bilangan

Kelipatan adalah penjumlahan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara terus-menerus. Sedangkan KPK singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil, yaitu kelipatan dari suatu bilangan tapi yang nilainya paling kecil.

Secara umum mencari FPB dan KPK dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:

1.    Mencari semua faktor-faktor(FPB)/kelipatan(KPK) bilangan tersebut.

2.    Menggunakan faktorisasi prima.

3.    Menggunakan pohon faktor.

4.    Menggunakan tabel.

5.    Jalan pintas.

Cara 1:

Dengan mencari semua faktor-faktor bilangan itu, kemudian carilah mana yang merupakan faktor yang sama dan terbesarnya. Faktor-faktor bilangan didapat dengan mencari semua perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan tersebut. 

Contoh: bilangan 40 didapat dari hasil perkalian (1x40), (2x20), (4x10), dan (5x8). Jadi, faktor-faktor dari bilangan 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, dan 40.

1.    Mencari KPK

Untuk KPK yaitu dengan mencari kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan tersebut :

12 = 12, 24, 36, 48, 60,...

8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48,...

Kelipatan dari 12 dan 8 yang sama diatas adalah 24, 48, dan seterusnya. Karena mencari yang terkecil maka KPK 12 dan 8 adalah 24.

2.    Mencari FPB

Untuk FPB yaitu dengan mencari faktor persekutuan dari bilangan-bilangan tersebut:

25 = (1 x 25) dan (5 x 5). Jadi, faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

40 = (1 x 40), (2 x 20), (4 x 10), dan (5 x 8). Jadi, faktor dari 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, dan 40.

Faktor-faktor bilangan 25 dan 40 yang sama diatas adalah 1 dan 5. Didapat bahwa yang merupakan faktor yang terbesar adalah 5. Jadi, FPB 25 dan 40 adalah 5.

Cara 2:

Dengan menggunakan faktorisasi prima. Bilangan prima adalah  bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri . Yang termasuk bilangan prima, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,... dan seterusnya. Faktorisasi prima adalah perkalian bilangan-bilangan prima yang menghasilkan suatu bilangan. Contohnya, faktorisasi prima dari 50 adalah 2 x 5² atau bisa ditulis 50 = 2 x 5².

Langkah-langkah mencari FPB dengan faktorisasi prima adalah sebagai berikut:

1.    Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.

2.    Mengambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.

3.    Jika faktor yang sama pangkatnya berbeda, ambillah faktor yang pangkatnya terkecil.

Langkah-langkah mencari KPK dengan faktorisasi prima adalah sebagai berikut:

1.    Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.

2.    Kalikan semua faktor  dari bilangan-bilangan itu.

3.    Jika ada faktor yang sama, ambillah faktor yang pangkatnya terbesar.

Contoh FPB dan KPK dari 25 dan 40:

25=5²

40=2² x 5

1.    FPB antara 25 dan 40

Faktor prima yang sama adalah 5. Perhatikan pangkatnya 5 dan 5². Ambil pangkat terkecil yaitu 5 (pangkat 1 tidak ditulis). Karena tidak ada lagi faktor-faktor prima yang sama, maka FPB 25 dan 40 adalah 5.

2.    KPK dari 25 dan 40

Untuk KPK semua faktor dikalikan. Perhatikan pangkatnya 5 dan 5². Ambil pangkat terbesar yaitu 5². Maka KPK 25 dan 40 adalah 2² x 5² = 4 x 25 = 100.

Cara 3:

Dalam pencarian FPB dan KPK biasanya menggunakan pola pohon faktor.

FPB dan KPK dari 12 dan 16

 

Cara 4:

Mencari FPB dan KPK dengan menggunakan tabel.

Langkah-langkah mencari FPB dengan menggunakan tabel:

1.    Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.

2.    Beri tanda faktor prima yang sama.

FPB dari 36 dan 54: 

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

FPB = 2 X 3 X 3 =  2 X 3²  =  18

Langkah-langkah mencari KPK dengan menggunakan tabel:

1.    Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.

2.    Kalikan semua faktor prima.

KPK dari 16 dan 40

	16	40
2	8	20
2	4	10
2	2	5
2	1	5
5	1	1

KPK =  2 X 2 X 2 X 2 X 5 =   2⁴ X 5  =  80

Cara 5:

Mencari KPK dan FPB dengan menggunakan jalan pintas.

Rumus:
FPB: yang besar dibagi yang kecil, sisanya itu FPB.

KPK: yang besar dikali yang kecil dibagi FPB.

Contoh: FPB dan KPK dari 18 dan 24

FPB = 24 dibagi 18, dapat 1 sisa 6 dan FPB nya adalah 6.

KPK = 24 x 18 : 6 = 24 x 3 = 72.