Bola Matematika

BOLA

A.  Pengertian Bola

Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung/kulit bola.Bidang bola adalah bidang lengkung yang terjadi jika sebuah setengah linkaran diputar sekeliling garis tengahnya.

Bidang bola juga didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang mempunyai jarak tetap terhadap sebuah titik. Titik ini disebut titik pusat. Jarak antara titik pusat dan sebuah titik pada bidang bola disebut jari-jari.

Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang bola. Ruas garis penhubung antara dua titik pada bidang bola disebut talibusur. Tali busur yang melalui titik pusat disebut garis tengah atau diameter. Dua titik pada sebuah bidang bola yang merupakan ujung-ujung sebuah diameter disebut titik-titik diametral. Pada sebuah bola terdapat banyak sekali lingkaran besar dan setiap dua lingkaran besar berpotongan sepanjang garis tengah bola. Lingkaran besar itu sendiri adalah bidang datar yang melalui pusat bola memotong bola menurut sebuah lingkaran yang titik pusatnya berimpit dengan titik pusat bola dan jari-jarinya sama dengan jari-jari bola.

B.  Unsur-Unsur Bola

Bola memiliki satu sisi.

C.  Rumus Bola

Luas dan volume Bola

Luas bola :

L = 4 x luas lingkaran

 = 4 x π r²

   = 4 π r²

Luas sisi bola = luas selimut tabung

                       = 2πrt

                       = 2πr x 2r

                       = 4πr2

Volume bola :

V = 4 x volume kerucut

  = 4 x 1/3 π r² t

karena pada bola, t = r maka

  = 4 x 1/3 π r² r

  = 4 x 1/3π r³

  = 4/3 π r³

TABUNG MATEMATIKA

TABUNG

A.  Pengertian

Dalam mendefinisikan tabung, kita menggunakan pengertian bidang tabung. Ada beberapa definisi untuk bidang tabung, yaitu:

Bidang tabung adalah himpunan semua garis p yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak yang tetap r terhadap s. (dalam hubungan ini s disebut sumbu bidang tabung, p disebut garis pelukis dan r adalah jari-jari bidang tabung). 

Dari definisi bidang tabung maka tabung dapat didefinisikan sebagai berikut:

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang tabung dan dua buah datar yang masing-masing tegak lurus pada sumbu bidang tabung. Tabung juga dapat dipikirkan sebagai sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi digandakan terus menerus sehingga menjadi tak terhingga banyaknya. 

B.  Unsur-unsur Tabung

1.  Tabung mempunyai 3 sisi yaitu sisi atas, sisi bawah dan sisi lengkung/sisi tegak (yang selanjutnya disebut selimut tabung). Sisi alas dan sisi atas (tutup) berbentuk lingkaran yang kongruen (sama bentuk dan ukurannya).

2.      Tabung mempunyai 2 rusuk yang masing-masing berbentuk lingkaran.

3.      Tabung tidak mempunyai titik sudut.

Jarak antara bidang atas dan bidang bawah tabung disebut tinggi dari tabung itu.

C.  Sifat-Sifat Tabung

1.      Mempunyai alas dan tutup yang berbentuk lingkaran

2.      Bidang yang menyelubungi bagian samping tabung disebut selimut tabung.

3.      Jarak  antara lingkaran alas dan lingkaran tutup adalah tinggi tabung.

D.  Bidang Singgung Pada Bidang Tabung

Pada gambar di atas, A merupakan pusat lingkaran alas dari tabung. Dibuat garis singgung pada p pada alas tabung itu dengan D sebagai titik singgung. Dibuat garis pelukis DE, maka bidang yang melalui P dan DE disebut bidang singgung pada bidang tabung. Jika dalam bidang singgung pada bidang tabung itu kita lukis garis g yang tidak sejajar dengan garis pelukis, maka garis g itu akan memotong garis pelukis DE di sebuah titik P yang merupakan titik persekutuan dari garis g dan bidang tabung. Dalam hal ini maka garis g dikatakan menyinggung bidang tabung di titik P. Garis g juga merupakan garis yang menyilang sumbu tabung pada jarak tetap, yaitu r.

Karena bidang singgung L melalui garis pelukis yang letaknya selalu sejajar dengan sumbu tabung s, maka akibatnya bahwa setiap bidang singgung pada bidang tabung letaknya pasti sejajar dengan sumbu tabung s.

Dari pernyataan di atas dapatlah disimpulkan bahwa:

1.      Semua garis yang menyilang sebuah garis s dengan jarak tetap (r) terletak pada sebuah bidang yang menyinggung bidang tabung dengan s sebagai sumbu dan r sebagai jari-jarinya.

2.  Setiap bidang yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak tetap (r) terhadap s, menyinggung bidang tabung dengan s sebagai sumbu dan r sebagai jari-jarinya.

E.  Jaring-Jaring Tabung

Jika sebuah model peraga dari sebuah tabung yang terbuat dari kertas atau karton kita potong sepanjang salah satu garis pelukis dan keliling bidang alas dan bidang atasnya, kemudian kita buka sehingga terletak bersama pada sebuah bidang datar maka kita akan peroleh jaring-jaring dari tabung yang terdiri dari sebuah daerah persegi panjang (bidang lengkung tabung tadi) dan dua daerah lingkaran yang kongruen.

F.   Rumus Tabung

1.      Luas alas = luas lingkaran = πr2

2.      Luas Selimut= 2πrt

3.      Keliling lingkaran alas/tutup = 2πr

4.      Untuk menentukan volume tabung, maka tabung kita pandang sebagai bangun yang terjadi dari sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi tak terhingga, sehingga keliling dari luas bidang alasnya sangat mendekati keliling dan luas sebuah lingkaran, sedangkan tinggi prisma itu menjadi tinggi dari tabung tersebut.

Dengan perkataan lain :

Volume sebuah silinder sama dengan limit volume prisma beraturan  yang banyaknya sisi bertambah menjadi tak berhingga.

Jika r adalah jari-jari bidang alas tabung (bidang alas berupa lingkaran) dan t adalah tinggi tabung, maka :

Volume Tabung   =   Volume Prisma

                            =   Luas Alas x Tinggi

                            =   (π r²) x (t)

                            =   π r ² t

5.      Luas Permukaan Tabung

Luas permukaan tabung dapat kita lihat dari jaring-jaring tabung yang terdiri dari sebuah daerah persegi panjang dan dua daerah lingkaran yang kongruen.

Daerah persegi panjang itu panjangnya sama dengan keliling lingkaran alas/atas dari  tabung, sedang  lebarnya sama dengan tinggi tabung.

Luas Permukaan Tabung = 2 x luas alas + Luas selimut tabung

Luas Permukaan Tabung = 2 (π r 2 )+ 2 π r t = 2 π r ( r + t )